notam cu:
A' mijlocul laturii BC
B' mijlocul laturii AC
C' mijlocul laturii AB
O este centrul cercului circumscris triunghiului ABC si intersectia medianelor
AA', BB', CC'
stim ca vectorial o mediana este semisuma vectorilor care pleaca din acelasi varf. daca nu stiai asta am s-o demonstrez daca vrei.
in plus mai stim ca medianele se intersecteaza la 2/3 de la varf si 1/3 de la baza.
in cazul nostru avem relatiile vectoriale:
AA'=3AO/2=(AB+AC)/2
BB'=3BO/2=(BA+BC)/2
CC'=3CO/2=(CA+CB)/2
le adunam membru cu membru
3(AO+BO+CO)/2 = (AB+AC+BA+BC+CA+CB)/2
suma vectorilor din paranteza membrului drept este zero
AB+BA=0
AC+CA=0
BC+CB=0 prin urmare:
AO+BO+CO= - (OA+OB+OC)=0 ⇒ OA+OB+OC=0
