Se considera triunghiul isoscel ABC cu AB=AC=25 cm si BC=30 cm. Fie AD perpendicular pe BC . Se indoaie triunghiul dupa inaltimea AD astfel incat planele ( ADC) si (ADB) sa fie perpendiculare .
a) Calculati distanta de la C la dreapta AB dupa indoire
b) Calculati tangenta unghiului diedru format de planele ( CAB) si ( ABD ) dupa indoire .
c) Calculati distanta de la D la planul ( CAB ) dupa indoire.

a)
AD inaltime, ABC  tr.isoscel, AD mediana⇒CD=BD =15
AD = (pitagora in tr.dr.ADP)=√(25²-15²)=20
CD⊥(ABD)
AB⊂AB
 fie BP⊥AB⇒(T3p)CP⊥AB⇔d(C,AB)=CP
PD inaltime coresp ipotenuzei in tr dr ADB
PD=15*20/25=12
CP = (Pitagora in tr dr CDP)=√(15²+12²)=3√41, cerinta a)


b) (CAB)∩ (ABD)=AB

m ∡((CAB), (ABD)) =m∡(CP,PD)
tg∡(CP,PD)=CD/DP=15/12=5/4, cerinta b)


c)DP⊥AB ( constructie)
cum P∈AB, avem (CAB)≡(ACP) , unde prin"≡ "am inteles "identic"
CP⊥AB ( pctul a)⇒AP⊥(CPD)⇒( un plan care contine o dreapta perpendiculara pe un alt plan este perpendicular pe acel plan) deci (ACP)⊥(CPD)⇒
⇒(distanta de la un punct intr-un plan la un plan perpendicular  este distanta pana la dreapta de intersectie) d(D, (APC))=d(D,CP)
d(D, CP)=DR, unde DR⊥CP, R∈CP
adica DR este inaltimea corespunxzatoare ipotenuzei in tr .dr.CDP
cat 1*cateta2/ipotenuza= CD*DP/CP=15*12/(3√41)=60/√41=(60√41)/41,
cerinta c)