Ecuația admite soluții reale dacă Δ ≥ 0
Determinăm Δ cu formula pe jumătate.
Δ = (n - p)² - (m - n)(p - m) = n² - 2np +p² -mp +m² +np -mn =
= m² + n² + p² - mn - np - pm.
Δ ≥ 0 ⇔ m² + n² + p² - mn - np - pm ≥ 0 |·2 ⇔
2m² + 2n² + 2p² - 2mn - 2np -2 pm ≥ 0 ⇔ m² + m² + n² + n² + p² + p² - 2mn -
- 2np -2 pm ≥ 0 ⇔ (m²-2mn +n²) + (n² - 2np + p²) + (p² -2pm + m²) ≥ 0 ⇔
⇔ (m - n)² + (n - p)² + (p - m)² ≥ 0 (Adevărat)
Deci, Δ ≥ 0 ⇔ ecuația dată admite soluții reale, pentru oricare valori ale
parametrilor m, n, p, cu m≠n.
