notam picioarele inaltimilor din cele 3 puncte cu A,B si C asadar avem inaltimile PA,QB si RC
notam bisectoarea din P cu PD. PD bisectoare atunci
[tex]\angle{DPR}=\angle{QPD}[/tex](1)
stim ca in unghiul B avem unghi de 90 grade caci FB face parte din QB care este perpendiculara pe AC
[tex]\angle{PBF}=90[/tex] atunci al treilea unghi din triunghiul dreptunghic PBF este
[tex]\angle{PFB}=90-\angle{FPB}=\angle{EFH}[/tex](2)
Stim de asemenea ca EC este perpendicular pe AB, din moment ce face parte din inaltimea RC
[tex]\angle{ECP}=90[/tex] decio triunghiul ECP este dreptunghic si
[tex]\angle{CEP}=90-\angle{CPE}=90-\angle{QPD}[/tex](3)
Din 1,2,3 rezulta atunci ca
[tex]\angle{CEP}=\angle{EFH}[/tex]
stim ca bisectoarea PD si inaltimea RC se intersecteaza in E, atunci unghiurile de-o parte si de alta a lui E sunt opuse la varf si congruente
[tex]\angle{CEP}=\angle{DER}=\angle{FEH}[/tex]
din ultimele 2 relatii rezulta ca
[tex]\angle{EFH}=\angle{FEH}[/tex] deci triunghiul EFH are 2 unghiuri congruente de unde rezulta ca este isoscel
