Aducem la același numitor și obținem:
[tex]\it \dfrac{2a+3a^2+a^3}{24} = \dfrac{a(a^2+3a+2)}{24} =\dfrac{a(a+1)(a+2)}{24}[/tex]
Numărătorul reprezintă produsul a trei numere naturale consecutive, deci:
3 | a(a+1)(a+2) (1)
Dacă a este număr par, atunci a=2k și a+2 = 2x+2, produsul lor va fi:
a(a+2) = 2k(2k+2) = 2k·2(k+1) = 4k(k+1) (2)
Deoarece k și k+1 sunt numere naturale consecutive, rezultă:
2|k(k+1) (3)
Din (2), (3) ⇒8|a(a+2) (4)
Din (1), (4) ⇒ 24|a(a+1)(a+2), pentru orice număr a, natural și par.
Prin urmare, expresia din enunț reprezintă un număr natural.
