Salut,
Presupunem prin reducere la absurd ca √2 este un numar rational. Atunci exista p si q numere naturale prime intre ele astfel incat √2 = p / q
Rezulta √2·q = p, apoi 2·q² = p². (1)
Deci, p² este multiplu al lui 2 si cu proprietatea de mai sus obtinem
2 | p, (2)
adica exista k ∈ ℕ astfel incat p = 2k.
Inlocuind in (1) obtinem 2q² = 4k², apoi q² = 2k².
Rezulta:
2 | q. (3)
Din (2) si (3) se deduce ca 2 este divizor comun pentru p si q ceea ce contrazice ipoteza ca p si q sunt prime intre ele.
Prin urmare presupunerea facuta este falsa, deci √2 nu este numar rational.
