a)
BC⊥ AB (laturi consecutive ale bazei) (1)
BC⊥ B'B (laturi consecutive ale unei fețe laterale) (2)
AB, B'B - concurente (3)
(1), (2), (3) ⇒ BC ⊥ (A'AB) (4)
A'B ⊂ (A'AB) (5)
(4), (5) ⇒ BC ⊥ A'B ⇒ A'B ⊥ BC
b)
[tex]\it
pr_{(ABC)} A' =A \ \ \ \ (*)
\\ \\
pr_{(ABC)} B' =B \ \ \ (**)
\\ \\
(*),\ (**) \ \Longrightarrow pr_{(ABC)} A'B' =AB[/tex]
c)
Unghiul dintre o dreaptă și un plan este unghiul dintre dreaptă și proiecția
ei pe plan.
Determinăm proiecția lui A'B pe planul (ABC) . Se observă că punctul B
se află în planul (ABC), iar proiecția punctului A' este punctul A.
Rezultă că :
[tex]\it pr_{ABC} A'B = AB[/tex]
Deci, unghiul dintre A'B și planul (ABC) este unghiul dintre A'B și AB,
adică unghiul ABA'.
În triunghiul A'AB, dreptunghic în A, cunoaștem catetele A'A și AB, iar
ipotenuza A'B se determină cu teorema lui Pitagora:
A'B² = A'A² + AB² = 8² + (8√3)² = 64 + 64·3 = 64(1+3) = 64·4 ⇒
⇒ A'B = √(64·4) = 8·2 =16 cm.
Deoarece ipotenuza triunghiului A'AB are lungimea de două ori mai
mare decât lungimea catetei A'A, din reciproca teoremei unghiului
de 30° ⇒ m(ABA') = 30°
d)
A'B și A'D sunt diagonale ale fețelor laterale, deci vor fi congruente, iar triunghiul
A'DB este isoscel. În acest triunghi A'O este mediană ⇒ A'O este și înălțime.
Prin urmare, A'O ⊥ BD.
